Poniżej przedstawiono analityczny szkielet modelu Solowa-Swana. Zrozumienie tych zaleznosci jest niezbędne do poprawnej interpretacji wyników symulacji.
Punktem wyjścia jest neoklasyczna funkcja produkcji typu Cobba-Douglasa, która charakteryzuje się stałymi korzyściami skali (Constant Returns to Scale - CRS). Oznacza to, że podwojenie nakładów kapitału i pracy skutkuje dokładnie podwojeniem produkcji.
Wzór ogólny:
Gdzie:
Y – Całkowity produkt (PKB realne).
A – Poziom technologii (TFP). Parametr egzogeniczny, skalujący wydajność.
K – Zasób kapitału fizycznego (maszyny, budynki).
L – Zasób siły roboczej.
alfa – Elastyczność produkcji względem kapitału (parametr z przedziału 0 do 1).
(1-alfa) – Elastyczność produkcji względem pracy.
Aby analizować dobrobyt, a nie tylko wielkość gospodarki, musimy sprowadzić zmienne do poziomu „na pracownika”. Dzielimy więc obie strony równania przez L. Pozwala to na analizę efektywności niezależnie od rozmiaru kraju.
y = Y/L (PKB na pracownika).
k = K/L (Kapitał na pracownika, tzw. techniczne uzbrojenie pracy).
Powyższe mają swoje implikacje - funkcja ta wykazuje malejące przychody krańcowe. Każda kolejna jednostka kapitału (k) dodana do pracownika zwiększa jego produktywność (y), ale o coraz mniejszą wartość. Wymusza to wklęsłość krzywej na wykresie.
To równanie dynamiki opisujące jak zmienia się zasób kapitału w czasie (t). Zmiana kapitału (dk/dt) jest różnicą między tym co „wlewamy” do zasobu (inwestycje), a tym co z niego „wycieka” (amortyzacja i wzrost populacji).
Wzór:
dk = s * y - (n + delta) * k
Podstawiając funkcję produkcji:
dk = s * A * k^alfa - (n + delta) * k
Objaśnienie składników:
s * y – Inwestycje brutto per capita. Zakładamy, że oszczędności (s) są tożsame z inwestycjami (I).
(n + delta) * k – Inwestycje odtworzeniowe (Break-even investment). delta *
k – Część kapitału, która ulega fizycznemu zużyciu.
n * k – Część kapitału, którą trzeba „dodać”, aby wyposażyć nowych pracowników (wynikających ze wzrostu n) na dotychczasowym poziomie.
Jeśli inwestycje brutto są większe niż odtworzeniowe (dk > 0), kapitał na głowę rośnie (pogłębianie kapitału). Jeśli są mniejsze, kapitał się kurczy.
Gospodarka osiąga długookresową równowagę, gdy zasób kapitału na pracownika przestaje się zmieniać. Matematycznie oznacza to, że pochodna po czasie wynosi zero (dk = 0).
Warunek równowagi:
s * A * k^alfa = (n + delta) * k
Rozwiązując to równanie względem k, otrzymujemy wzór na kapitał w stanie ustalonym (k*):
k* = [ (s * A) / (n + delta) ] ^ ( 1 / (1 - alfa) )
Warto zauważyć, że:
-> wzrost stopy oszczędności (s) lub technologii (A) zwiększa k*.
-> wzrost populacji (n) lub amortyzacji (delta) zmniejsza k* (bo mianownik rośnie).
-> wwykładnik potęgi (1/(1-alfa)) działa jak "dźwignia". Im wyższe alfa (większy udział kapitału), tym silniej zmiany parametrów wpływają na wynik końcowy.
W modelu neoklasycznym, przy założeniu doskonałej konkurencji, czynniki produkcji są wynagradzane zgodnie z ich krańcową produktywnością (Marginal Product). Płaca realna (w): Jest równa Krańcowemu Produktowi Pracy (MPL). Obliczamy ją jako pochodną funkcji produkcji po L:
w = (1 - alfa) * A * k^alfa
lub w inny sposób
w = (1 - alfa) * y
Zauważ, że płaca jest wprost proporcjonalna do wydajności pracy (y)!
Stopa procentowa / Cena najmu kapitału (r): Jest równa Krańcowemu Produktowi Kapitału (MPK) pomniejszonemu o amortyzację.
r = alfa * A * k^(alfa - 1) - delta
Ponieważ (alfa - 1) jest ujemne, oznacza to, że wraz ze wzrostem kapitału (k), jego rentowność (r) spada. Potwierdza to prawo malejących przychodów.
Szukamy takiego poziomu kapitału (k_gold), który maksymalizuje konsumpcję (c), a nie produkcję. Maksymalizujemy funkcję:
c = f(k) - (n + delta)k
Warunek pierwszego rzędu (FOC) wymaga, by pochodna konsumpcji po kapitale wynosiła zero:
MPK = n + delta
Dla fukncji Cobba-Douglasa implikuje to prosty i elegancki warunek dla stopy oszczędności: s_gold = alfa Oznacza to, że konsumpcja jest najwyższa, gdy stopa oszczędności równa się elastyczności produkcji względem kapitału (czyli udziałowi zysków w PKB).
Podsumowujac model - rozmaitośc parametrów wskazuje na asymptotyczną stabilność tego rozwiązania co sprzyja brak chaosu deterministycznego w trajektorii wzrostu. Co jest zarówno silnym jak i słabym elementem całego modelu.