Fundamentem wszystkich finansów jest prosta idea: złotówka dzisiaj jest warta więcej niż złotówka obiecana w przyszłości.
Dzieje się tak z 4 głównych powodów:
Koszt utraconych korzyści (Opportunity Cost) - Pieniądze, które mamy dzisiaj, możemy zainwestować (np. na lokacie) i sprawić, że będą "pracować", generując odsetki. Złotówka obiecana za rok nie daje tej możliwości.
Inflacja - Wraz ze wzrostem cen, siła nabywcza pieniądza spada. Za rok ta sama złotówka kupi mniej dóbr niż dzisiaj.
Ryzyko (Niepewność) - Przyszłość jest niepewna. Obietnica otrzymania pieniędzy za rok wiąże się z ryzykiem, że obietnica nie zostanie dotrzymana (np. bankructwo dłużnika).
Preferencje konsumpcji w czasie - wolimy konsumować dziś niż jutro
Dlatego w finansach nie można bezpośrednio porównywać kwoty 1000 zł dziś i 1000 zł za trzy lata. Aby to zrobić, musimy je sprowadzić do tego samego punktu w czasie. Służą do tego dwa procesy:
Kapitalizacja (Compounding): Przenoszenie pieniędzy w przyszłość. (Obliczanie FV)
Dyskontowanie (Discounting): Przenoszenie pieniędzy w teraźniejszość. (Obliczanie PV)
Wartość przyszła odpowiada na pytanie: "Ile będzie warta dzisiejsza kwota PV po określonym czasie (t), przy danej stopie procentowej (r)?
"Wzór Podstawowy (Kapitalizacja Roczna)W najprostszym modelu odsetki naliczane są tylko raz w roku (k=1).
FV = PV/(1 + r)^t
Gdzie:
FV - Wartość Przyszła (kwota na koniec inwestycji)
PV - Wartość Bieżąca (kapitał początkowy)
r - Roczna stopa procentowa (w ułamku, np. 5% = 0,05)
t - Liczba lat
W praktyce (np. na kontach oszczędnościowych, przy kredytach) odsetki są naliczane znacznie częściej:
Półrocznie (k=2)
Kwartalnie (k=4)
Miesięcznie (k=12)
Dziennie (k=365)
Gdy kapitalizacja jest częstsza, musimy zmodyfikować wzór, aby odzwierciedlić dwie rzeczy:
Stopa procentowa na okres (i) - Roczna stopa r jest dzielona przez liczbę kapitalizacji k. (i = r / k)
Łączna liczba okresów (n) - Liczba lat t jest mnożona przez k. (n = t * k)
Wzór ogólny na wartość przyszłą przyjmuje postać:
FV = PV * (1 + r/k)^(t * k)
Logika: Jeśli lokata daje 12% rocznie (r=0,12) z kapitalizacją miesięczną (k=12), bank nie dopisuje 12% co miesiąc. Dopisuje 12%/12 = 1% (i=0,01) każdego miesiąca. Robi to jednak 12 razy w roku (n), co uruchamia "magię" procentu składanego – odsetki zaczynają zarabiać na siebie szybciej.
Załóżmy wpłatę PV = 10 000 zł na okres t = 5 lat. Oprocentowanie roczne r = 8% (0,08).
Wariant A: Kapitalizacja roczna (k=1)
n = 5 * 1 = 5
i = 0,08 / 1 = 0,08
FV = 10 000 * (1 + 0,08)^5
FV = 10 000 * (1,4693) = ok. 14 693,28 zł
Wariant B: Kapitalizacja kwartalna (k=4)
n = 5 lat * 4 kwartały = 20 (To jest n=t * k)
i = 0,08 / 4 = 0,02 (stopa na jeden kwartał)
FV = 10 000 * (1 + 0,02)^20
FV = 10 000 * (1,4859) = ok. 14 859,47 zł
Wniosek: Częstsza kapitalizacja (Wariant B) dała wyższy wynik FV przy tej samej rocznej stopie procentowej.
Wartość bieżąca odpowiada na pytanie: "Ile trzeba zainwestować dzisiaj (PV), aby za t lat posiadać określoną kwotę FV?"
Jest to proces dyskontowania, czyli matematyczne odwrócenie kapitalizacji. Wzór na PV jest po prostu przekształceniem wzoru na FV.
Chcąc obliczyć PV, dzielimy FV przez czynnik kapitalizujący:
PV = FV / (1 + r/k)^(t * k)
Lub zapisując inaczej (z ujemnym wykładnikiem):
PV = FV * (1 + r/k)^-(t * k)
Logika: Jeśli wiemy, że za 5 lat potrzebujemy 50 000 zł na samochód (to jest nasze FV), ten wzór pozwala obliczyć, jaką kwotę musimy "zamrozić" dzisiaj na lokacie, aby (wliczając odsetki) urosła dokładnie do 50 000 zł.
Cel na przyszłość - FV = 20 000 zł. Czas - t = 8 lat. Dostępna inwestycja (np. obligacje) daje r = 6% (0,06) rocznie. Kapitalizacja jest półroczna (k=2).
Ile trzeba wpłacić dzisiaj (PV)?
n = t * k = 8 lat * 2 półrocza = 16
i = r / k = 0,06 / 2 = 0,03 (stopa na jedno półrocze)
PV = 20 000 / (1 + 0,03)^16
PV = 20 000 / 1,6047
PV = ok. 12 463,40 zł
Wniosek: Aby za 8 lat mieć 20 000 zł, wystarczy dziś zainwestować 12 463,40 zł na wskazanych warunkach. Reszta (7 536,60 zł) to zarobek z odsetek.
W analizach finansowych kluczowe jest rozróżnienie t (lat) od n (okresów).
t (Czas) - To jest czas kalendarzowy, zazwyczaj wyrażony w latach. Jest to miara abstrakcyjna.
k (Częstotliwość) - To "silnik" procentu składanego. Mówi, ile razy w ciągu roku maszyna odsetkowa jest uruchamiana.
n (Okresy) - To jest rzeczywista liczba cykli, w których naliczono odsetki. (n = t * k).
Kalkulator finansowy (lub Excel) nie pyta o t i k osobno. Pyta o:
n - (Total number of periods)
i - (Interest rate per period)
Dlatego umiejętność przeliczania r -> i oraz t -> n jest absolutnie kluczowa.
Przykład Zastosowania n = t * k
Przeanalizujmy różne scenariusze dla 10 lat (t=10):
Kapitalizacja roczna (k=1) - n = 10 * 1 = 10 okresów (10 wypłat odsetek)
Kapitalizacja półroczna (k=2) - n = 10 * 2 = 20 okresów (20 wypłat odsetek)
Kapitalizacja kwartalna (k=4) - n = 10 * 4 = 40 okresów (40 wypłat odsetek)
Kapitalizacja miesięczna (k=12) - n = 10 * 12 = 120 okresów (120 wypłat odsetek)
Wzór FV = PV * (1+i)^n jest uniwersalny, o ile poprawnie wyliczymy i oraz n.
Wpłacasz 1 000 zł na lokatę. Oprocentowanie wynosi 5% w skali roku. Odsetki są kapitalizowane rocznie (k=1). Ile pieniędzy (FV) będziesz mieć na koncie po 3 latach (t=3)?
Rozwiązanie: Dane do zadania to PV = 1000 zł, r = 0.05, t = 3 lata, k = 1. Obliczamy n = t * k = 3 * 1 = 3 oraz i = r / k = 0.05 / 1 = 0.05. Podstawiamy do wzoru: FV = 1000 * (1 + 0.05)^3; FV = 1000 * (1.157625); FV = 1157.63 zł. Odpowiedź: Na koncie będzie 1157,63 zł.
Chcesz zgromadzić 5 000 zł za 4 lata (t=4). Ile musisz wpłacić dzisiaj (PV), jeśli znalazłeś inwestycję gwarantującą 6% rocznie, a odsetki są kapitalizowane rocznie (k=1)?
Rozwiązanie: Dane do zadania to FV = 5000 zł, r = 0.06, t = 4 lata, k = 1. Obliczamy n = 4 oraz i = 0.06. Podstawiamy do wzoru: PV = 5000 / (1 + 0.06)^4; PV = 5000 / (1.262477); PV = 3960.47 zł. Odpowiedź: Musisz wpłacić dzisiaj 3960,47 zł.
Inwestujesz 2 000 zł na 5 lat (t=5). Oprocentowanie roczne (r) wynosi 8%. Jaką kwotę (FV) zbierzesz, jeśli kapitalizacja jest miesięczna (k=12)?
Rozwiązanie: Dane to PV = 2000 zł, r = 0.08, t = 5 lat, k = 12 (miesięcznie). Obliczamy łączną liczbę okresów: n = t * k = 5 * 12 = 60. Obliczamy stopę na jeden miesiąc: i = r / k = 0.08 / 12 = 0.006667. Podstawiamy do wzoru: FV = 2000 * (1 + 0.08/12)^60; FV = 2000 * (1.489846); FV = 2979.69 zł. Odpowiedź: Zbierzesz 2979,69 zł.
Twój cel to 15 000 zł za 6 lat (t=6). Ile musisz zainwestować dzisiaj (PV), jeśli stopa roczna (r) to 7%, a kapitalizacja jest kwartalna (k=4)?
Rozwiązanie: Dane to FV = 15000 zł, r = 0.07, t = 6 lat, k = 4 (kwartalnie). Obliczamy łączną liczbę kwartałów: n = t * k = 6 * 4 = 24. Obliczamy stopę na jeden kwartał: i = r / k = 0.07 / 4 = 0.0175. Podstawiamy do wzoru: PV = 15000 / (1 + 0.0175)^24; PV = 15000 / (1.51683); PV = 9889.03 zł. Odpowiedź: Musisz zainwestować dzisiaj 9889,03 zł.
Kapitalizacja ciągła to teoretyczny, ale bardzo ważny w finansach koncept. Wyobraźmy sobie, że odsetki są naliczane nie co rok (k=1), nie co kwartał (k=4), ani nawet nie co sekundę (k=31 536 000), ale w każdym nieskończenie małym ułamku czasu.
Gdy częstotliwość kapitalizacji (k) rośnie do nieskończoności, nasz dotychczasowy wzór FV = PV * (1 + r/k)^(t*k) dochodzi do pewnej granicy. Tą granicą jest właśnie liczba Eulera, oznaczana jako "e".
Liczba Eulera (e) to stała matematyczna, podobnie jak Pi. Jej wartość to w przybliżeniu e = 2.71828...
Jak to działa? Wyobraźmy sobie, że wpłacamy 1 zł na 1 rok przy kosmicznym oprocentowaniu 100% (r = 1.0). Gdy k=1 (rocznie), FV = 1 * (1 + 1/1)^1 = 2.00 zł. Gdy k=2 (półrocznie), FV = 1 * (1 + 1/2)^2 = 2.25 zł. Gdy k=12 (miesięcznie), FV = 1 * (1 + 1/12)^12 = ok. 2.61 zł. Gdy k=365 (dziennie), FV = 1 * (1 + 1/365)^365 = ok. 2.714 zł. Gdy k dąży do nieskończoności, wynik dąży dokładnie do "e", czyli 2.71828... zł.
Dzięki temu matematycy mogli uprościć wzór na kapitalizację. Zamiast skomplikowanego (1 + r/k)^(t*k), przy kapitalizacji ciągłej używamy "e".
Nie potrzebujemy już "k" (częstotliwości). Wzory stają się bardzo eleganckie.
1. Wzór na Wartość Przyszłą (FV) przy kapitalizacji ciągłej:
FV = PV * e^(r * t)
Gdzie: PV - Wartość Bieżąca (kapitał początkowy) e - Liczba Eulera (na kalkulatorze zazwyczaj jako funkcja e^x lub exp()) r - Roczna stopa procentowa (w ułamku, np. 5% = 0.05) t - Liczba lat
Wyrażenie e^(r * t) oznacza "e" podniesione do potęgi będącej iloczynem stopy i czasu.
2. Wzór na Wartość Bieżącą (PV) przy kapitalizacji ciągłej:
Jest to odwrócenie wzoru na FV (dzielimy FV przez czynnik narastania).
PV = FV / e^(r * t)
Można to też zapisać z ujemnym wykładnikiem: PV = FV * e^-(r * t)
W tych zadaniach kluczowe jest użycie funkcji e^x (często oznaczanej exp()) na kalkulatorze naukowym lub w arkuszu kalkulacyjnym.
Zadanie 1. Obliczanie Wartości Przyszłej (FV)
Inwestujesz PV = 10 000 zł na okres t = 8 lat. Stopa procentowa (r) wynosi 5% (czyli 0.05). Kapitalizacja odsetek jest ciągła. Ile pieniędzy (FV) będziesz mieć na koncie?
Rozwiązanie: Używamy wzoru: FV = PV * e^(r * t) Dane: PV = 10000, r = 0.05, t = 8 Obliczamy wykładnik potęgi: r * t = 0.05 * 8 = 0.40 Podstawiamy do wzoru: FV = 10000 * e^(0.40) Teraz obliczamy e^0.40 (na kalkulatorze: e^x dla wartości 0.4): e^0.40 = ok. 1.491825 Obliczamy FV: FV = 10000 * 1.491825 FV = 14918.25 zł
Odpowiedź: Przy kapitalizacji ciągłej zgromadzisz 14 918,25 zł. (Dla porównania, przy kapitalizacji rocznej byłoby to tylko 14 774,55 zł).
Zadanie 2. Obliczanie Wartości Bieżącej (PV)
Za t = 5 lat chcesz odebrać FV = 25 000 zł. Znalazłeś instrument finansowy, który oferuje r = 6% (0.06) rocznie z kapitalizacją ciągłą. Ile pieniędzy (PV) musisz wpłacić dzisiaj?
Rozwiązanie: Używamy wzoru: PV = FV / e^(r * t) Dane: FV = 25000, r = 0.06, t = 5 Obliczamy wykładnik potęgi: r * t = 0.06 * 5 = 0.30 Podstawiamy do wzoru: PV = 25000 / e^(0.30) Teraz obliczamy e^0.30: e^0.30 = ok. 1.349859 Obliczamy PV: PV = 25000 / 1.349859 PV = 18520.44 zł
Odpowiedź: Musisz wpłacić dzisiaj 18 520,44 zł.